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1458. 两个子序列的最大点积#

问题描述#

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

 

示例 1：


输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。
它们的点积为 (2*3 + (-2)*(-6)) = 18 。

示例 2：


输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7] 。
它们的点积为 (3*7) = 21 。

示例 3：


输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1] 。
它们的点积为 -1 。

 

提示：

  • 1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
  • -1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 100

 

点积：


定义 a = [a1, a2,…, an] 和 b = [b1, b2,…, bn] 的点积为：

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n 

这里的 Σ 指示总和符号。

解题思路#

类似于最长公共字符串。

状态转移方程：

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dp[i][j] = max(
    dp[i - 1][j],
    dp[i][j - 1],
    dp[i - 1][j - 1],
    nums1[i] * nums2[j],
    nums1[i] * nums2[j] + dp[i - 1][j - 1],
)

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class Solution:
    def maxDotProduct(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        n1, n2 = len(nums1), len(nums2)
        dp = [[-float("inf")] * n2 for _ in range(n1)]
        dp[0][0] = nums1[0] * nums2[0]
        for i in range(1, n1):
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], nums1[i] * nums2[0])
        for j in range(1, n2):
            dp[0][j] = max(dp[0][j - 1], nums2[j] * nums1[0])

        for i in range(1, n1):
            for j in range(1, n2):
                dp[i][j] = max(
                    dp[i - 1][j],
                    dp[i][j - 1],
                    dp[i - 1][j - 1],
                    nums1[i] * nums2[j],
                    nums1[i] * nums2[j] + dp[i - 1][j - 1],
                )
        return dp[-1][-1]
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