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330. 按要求补齐数组#

问题描述#

给定一个已排序的正整数数组 nums，和一个正整数 n 。从 [1, n] 区间内选取任意个数字补充到 nums 中，使得 [1, n] 区间内的任何数字都可以用 nums 中某几个数字的和来表示。请输出满足上述要求的最少需要补充的数字个数。

示例 1:

输入: nums = [1,3], n = 6
输出: 1 
解释:
根据 nums 里现有的组合 [1], [3], [1,3]，可以得出 1, 3, 4。
现在如果我们将 2 添加到 nums 中， 组合变为: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3]。
其和可以表示数字 1, 2, 3, 4, 5, 6，能够覆盖 [1, 6] 区间里所有的数。
所以我们最少需要添加一个数字。

示例 2:

输入: nums = [1,5,10], n = 20
输出: 2
解释: 我们需要添加 [2, 4]。

示例 3:

输入: nums = [1,2,2], n = 5
输出: 0

解题思路#

用 \(a_0,a_1,\cdots\) 表示排好序的 \(\texttt{nums}\)。

如果 \(a_0,a_1,\cdots,a_{i-1}\) 最多能够覆盖 \([1,x-1]\) 内的所有数，

那么对于 \(x\) 和 \(a_i\)，

  • 如果 \(a_i\gt x\)，那么 \(\texttt{nums}\) 无法得到 \(x\)，因为 \(x\) 只能由 \(\le x\) 的数得到，所以此时必须添加 \(x\) 这个数，在添加了 \(x\) 后，能够覆盖的范围由 \([1,x-1]\) 变为了 \([1,x-1+x]\Rightarrow[1,2x-1]\)。
  • 如果 \(a_i\le x\)，那么添加 \(a_i\) 后，能够覆盖的范围变为了 \([1,x-1+a_i]\)。
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class Solution:
    def minPatches(self, nums: List[int], n: int) -> int:
        size = len(nums)
        # if size == 0:
        #     return int(log2(n)) + 1

        x = 1  # 从 1 开始覆盖
        i = 0
        ans = 0

        while x <= n:
            if i < size and nums[i] <= x:  # 当前已经能够覆盖 [1,x-1]
                # 加上 nums[i]<=x 后能够覆盖 [1,x-1+nums[i]]
                # 所以下一次判断能够覆盖 x+nums[i]
                x += nums[i]
                i += 1  # 每个元素只能用一次
            else:  # 无法得到 x
                ans += 1  # 添加 x
                x <<= 1  # 添加 x 后能够覆盖 [1,2x-1]，所以下一次判断能否覆盖 2x
        return ans
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