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剑指 Offer 11. 旋转数组的最小数字#

问题描述#

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。  

示例 1：

输入：[3,4,5,1,2]
输出：1

示例 2：

输入：[2,2,2,0,1]
输出：0

注意：本题与主站 154 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/

解题思路#

题目显然要使用比时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\) 更优的方案，因为遍历数组必然可以取得最小值，这样题目给定的一些限制就毫无意义了。

考虑到数组部分有序而且优于 \(\mathcal{O}(n)\) 的算法，考虑二分搜索。

对于 \(\text{lo}=0,\text{hi}=\text{len}(\text{nums})-1,\text{lo}<\text{hi}, \text{mid}=\lfloor\frac{\text{lo}+\text{hi}}{2}\rfloor\)，

  • 如果 \(\text{nums}[\text{mid}] \lt \text{nums}[\text{hi}]\)，这种情况要么是数组并未发生改变，仍然整体有序；要么就是 \(\text{mid}\) 在后面较小的一部分数中。总之 \(\text{mid}\) 到 \(\text{hi}\) 这一部分数是有序的，此时令 \(\text{hi}=\text{mid}\).

  • 如果 \(\text{nums}[\text{mid}] \gt \text{nums}[\text{hi}]\)，说明数组必然被分成了两部分，而且 \(\text{mid}\) 在前面较大的一部分数中，此时令 \(\text{lo}=\text{mid}+1\).

  • 如果 \(\text{nums}[\text{mid}] = \text{nums}[\text{hi}]\)，则任何情况都有可能，可能存在多个相同的最小值，\(\text{hi}\) 本身也可能是最小值，但是此时最小值必然也存在于 \(\text{hi}\) 之前，此时令 \(\text{hi}=\text{hi}-1\) 即可。

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class Solution:
    def minArray(self, numbers: List[int]) -> int:
        """数组可能存在重复元素"""
        lo, hi = 0, len(numbers) - 1
        while lo < hi:
            mid = (lo + hi) // 2
            if numbers[mid] < numbers[hi]:
                hi = mid
            elif numbers[mid] > numbers[hi]:
                lo = mid + 1
            else:
                hi -= 1
        return numbers[lo]
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